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线性代数2013年4月真题试题及答案解析(02198)

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1: 设n阶矩阵A满足AA^T=E，|A|<0。证明|A +E|=0。

2: 求正交变换x=Py，将二次型f(x₁, x₂)=3x₁²-2x₁x₂+3x₂²化为标准形，并指出f是否为正定二次型。

3: 求矩阵的特征值，并判定A能否与对角矩阵相似。(需说明理由)

4: 已知4元线性方程组，
(1)确定的值，使方程有解;
(2)在有解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)

5: 求向量组的一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出。

6: 判断向量组α1=(1,2,0)^T，α2=(-1,0,1)^T，α3=(-1,2,2)^T的线性相关性。(需说明理由)

7: 已知矩阵，求矩阵X，使得AX=B。

8: 计算行列式，其中a,b, c ,d为常数。

9: 已知A为2阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使，则二次型f =x^TAx的规范形是_________。

10: 设向量α1=(1,2,-1)^T，α2=(3,2,1)^T，则(α1, α2)=__________。

11: 设A为3阶矩阵，2是A的一个2重特征值，-1为它的另一个特征值，则|A|=_______。

12: 3元齐次线性方程组的通解为_______。

13: 设A为3阶矩阵，r(A)=2，若存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则r(B)=______。

14: 设向量α1=(1,2,-1,1)^T，α2=(2,0,t,0)^T，α2=(-1,2,-4,1)^T的秩为2，则数t=________。

15: 设α1=(1, -2,5)^T，α2=(4,7,-2)^T，则数-2α1+3α2=________。

16: A是3阶矩阵，若|A *|=4，且|A|<0，则|A|=_______。

17: 已知行列式________。

18: 设-2是3阶矩阵A的一个特征值，则A²必有一个特征值为()

A.-8
B.-4
C.4
D.8

19: 4元齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为()

A.1
B.2
C.3
D.4

20: 设矩阵，则A^TA =_________。

21: 设A,B均为n阶矩阵，(A+B)(A-B)=A²-B²的充分必要条件是()

A.A=E
B.A=O
C.A=B
D.AB=BA

22: 设向量组α1, α2, α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是()

A.α1, α2, α1+α3
B.α1-α2, α2-α3, α3-α1
C.α1, α2,2α1-3α2
D.α2, 2α3, 2α2+α3

23: 设A为3阶矩阵，如果A=2E，则|A|=()

A.2
B.4
C.6
D.8

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