2012年研究生入学考试（数二）真题试卷

已知，二次型f(x₁，x₂，x₃)＝x^T(A^TA)x的秩为2，

(1)求实数a的值；

(2)求正交变换x＝Qy将f化为标准形．

(1)证明方程xⁿ＋x^n-1＋…＋x＝1 (n为大于1的整数)，在区间(1／2，1)内有且仅有一个实根；

(2)记(1)中的实根为x_n，证明存在，并求此极限．

设

(1)计算行列式｜A｜；

(2)当实数a为何值时，方程组Ax＝β有无穷多解，并求其通解．

计算二重积分，其中区域D为曲线r＝1＋cosθ(0≤0≤π)与极轴围成．

已知函数f(x)满足方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0及fˊ(x)＋f(x)＝2e^x，

(1)求f(x)的表达式；

(2)求曲线的拐点．

过(0，1)点作曲线L：y＝lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

已知函数

(1)求a的值；

(2)若x→0时，f(x)－a与x^k是同阶无穷小，求常数k的值．

设A为3阶矩阵，｜A｜＝3，A^*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA^*｜＝________．

微分方程ydx＋(x－3y²)dy＝0满足条件y｜_x＝1＝1的解为y＝_________．

曲线y＝x²＋x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________．

设y＝y(x)是由方程x²－y＋1＝e^y所确定的隐函数，则＝_________．

设，c₁，c₂，c₃，c₄均为任意常数，则下列向量组线性相关的是(  )．

设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且，若P=(α₁，α₂，α₃)，Q＝(α₁＋α₂，α₂，α₃)，则Q^－1AQ＝( )．

设区域D由曲线Y=sinx，＝(  )．

设函数f(x，y)为可微函数，且对任意的x，y都有，则使不等式f(x₁，y₁)＞f(x₂，y₂)成立的一个充分条件是(  )．

设a_n＞0(n＝1，2，3，…)，S_n=a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n，则数列｛S_n｝有界是数列｛a_n｝收敛的(  )．

设函数f(x)＝(e^x－1)(e^2x－2)…(e^nx－n)，其中n为正整数，则fˊ(0)＝(  )．

设(k＝1，2，3)，则有(  )．

曲线的渐近线条数为( )．