张某因卖淫被公安机关抓获后，主动揭发其他卖淫人员的违法事实，对张某依法应当不予处罚。

人民警察在公安机关以外询问被侵害人或者其他证人，应当出示工作证件和介绍信。

甲资助恐怖活动培训，情节严重，构成帮助恐怖活动罪。

张某是一名警察，在巡逻途中不慎将依法配备的枪支丢失，被李某捡拾，张某发现枪支丢失后因害怕未及时报告，数日后，李某持枪抢劫他人。对张某应以丢失枪支不报罪定罪处罚。

市公安局督察支队认为治安支队民警李某工作中严重失职，需要给予处分。对李某的处分应由市局督察机构作出决定，报市级公安机关行政首长批准后执行。

对违反治安管理的外国人，可以适用限期出境。

李某因涉嫌盗窃被传唤至公安机关接受询问，李某拒不承认实施了盗窃行为，办案民警A对李某说：“如果不承认就拘留你，如果承认了态度好，可以不处理你。”李某听到此话后承认了自己的盗窃行为。由于该案只有对李某的一份询问笔录，无其他证据，该笔录可以作为处罚的根据。

居住在甲县的张某因涉嫌盗窃罪被乙县公安机关取保候审，因亲人去世需要离开乙县，应当报经乙县公安机关批准。

李某因盗窃被判处管制。因为管制刑本身适用于罪行较轻的犯罪分子，所以对李某可以适用缓刑。

控告人甲对A地公安机关不予立案决定不服，可以在收到不予立案通知书后7日以内向A地公安机关申请复议。

对正在预备犯罪的重大嫌疑分子，公安机关可以先行拘留。