已知：抛物线（为常数，且）.

（1）求证：抛物线与轴有两个交点；

（2）设抛物线与轴的两个交点分别为、（在左侧），与轴的交点为.

①当时，求抛物线的解析式；

②将①中的抛物线沿轴正方向平移个单位（>0），同时将直线：沿轴正方向平移个单位.平移后的直线为，移动后、的对应点分别为、.当为何值时，在直线上存在点，使得△为以为直角边的等腰直角三角形?

已知抛物线与x轴交于两点A（x₁, 0），B（x₂, 0）（x₁≠x₂），顶点为C.

(1) 若△ABC为直角三角形，求k的值；

(2) 若△ABC为等边三角形，求k的值.

已知：抛物线（为常数，且）.

（1）求证：抛物线与轴有两个交点；

（2）设抛物线与轴的两个交点分别为、（在左侧），与轴的交点为.

①当时，求抛物线的解析式；

②将①中的抛物线沿轴正方向平移个单位（>0），同时将直线：沿轴正方向平移个单位.平移后的直线为，移动后、的对应点分别为、.当为何值时，在直线上存在点，使得△为以为直角边的等腰直角三角形?

某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本）

如图，用18米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子，窗子的宽不能超过2米. 为使透进的光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米？

一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

已知抛物线．

  （1）求抛物线的顶点坐标；

  （2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．

二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程的两个根；

（2）写出不等式的解集；

（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围；

（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.

已知二次函数图象的顶点是，且过点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上.

在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.

已知一抛物线与x轴的交点是，B（1，0），且经过点C（2，8）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的顶点坐标.